자물쇠와 열쇠 (lv3)

문제 설명

고고학자인 "튜브"는 고대 유적지에서 보물과 유적이 가득할 것으로 추정되는 비밀의 문을 발견하였습니다. 그런데 문을 열려고 살펴보니 특이한 형태의 자물쇠로 잠겨 있었고 문 앞에는 특이한 형태의 열쇠와 함께 자물쇠를 푸는 방법에 대해 다음과 같이 설명해 주는 종이가 발견되었습니다.

잠겨있는 자물쇠는 격자 한 칸의 크기가 1 x 1인 N x N 크기의 정사각 격자 형태이고 특이한 모양의 열쇠는 M x M 크기인 정사각 격자 형태로 되어 있습니다.

자물쇠에는 홈이 파여 있고 열쇠 또한 홈과 돌기 부분이 있습니다. 열쇠는 회전과 이동이 가능하며 열쇠의 돌기 부분을 자물쇠의 홈 부분에 딱 맞게 채우면 자물쇠가 열리게 되는 구조입니다. 자물쇠 영역을 벗어난 부분에 있는 열쇠의 홈과 돌기는 자물쇠를 여는 데 영향을 주지 않지만, 자물쇠 영역 내에서는 열쇠의 돌기 부분과 자물쇠의 홈 부분이 정확히 일치해야 하며 열쇠의 돌기와 자물쇠의 돌기가 만나서는 안됩니다. 또한 자물쇠의 모든 홈을 채워 비어있는 곳이 없어야 자물쇠를 열 수 있습니다.

열쇠를 나타내는 2차원 배열 key와 자물쇠를 나타내는 2차원 배열 lock이 매개변수로 주어질 때, 열쇠로 자물쇠를 열수 있으면 true를, 열 수 없으면 false를 return 하도록 solution 함수를 완성해주세요.

제한사항

• key는 M x M(3 ≤ M ≤ 20, M은 자연수)크기 2차원 배열입니다.
• lock은 N x N(3 ≤ N ≤ 20, N은 자연수)크기 2차원 배열입니다.
• M은 항상 N 이하입니다.
• key와 lock의 원소는 0 또는 1로 이루어져 있습니다.
  • 0은 홈 부분, 1은 돌기 부분을 나타냅니다.

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입출력 예

keylockresult

[[0, 0, 0], [1, 0, 0], [0, 1, 1]]

[[1, 1, 1], [1, 1, 0], [1, 0, 1]]

true

---

 처음 생각한 접근은 열쇠부분에서 row,col 값이 가장 작은 부분 (이하 열쇠 머리)을 90도 씩 돌려가며 자물쇠의 빈칸에 차례차례 꽂아보는 방법이었다. 따라서 lock에서 0인 부분을 순회하면서, 열쇠 머리 부분부터 시작해서 미리 구해둔 열쇠 모양을 90도 씩 회전변환 하여 꽂아보았는데, 이 방법은 보기 좋게 실패했다. 구현은 잘 되었으나, 사실 열쇠 머리부터 꽂는 방식은 맞지 않는 접근법이다. 예를들면 다음과 같이 입력이 주어졌다고 생각해보자.

• key = [[1, 0, 0], [1, 0, 0], [0, 1, 1]]
• lock = [[1, 1, 1], [1, 1, 0], [1, 0, 1]]

 위와 같은 경우, 열쇠 머리부터 꽂아 확인하면 False를 반환 받게 된다. 그래도 구현 과정 중 방향 벡터로 접근하는 사고라던가, 회전변환 이라던가 얻은게 있다고 생각하므로 일단 코드를 올려둔다.

from pprint import pprint
from collections import deque

rx = [1,1,-1,-1]
ry = [1,-1,1,-1]

def rotate(vector,cnt):
    if cnt == 0:
        return vector
    mat = [[0,-1],[1,0]]
    result = []
    for elem in mat:
        result.append(elem[0]*vector[0] + elem[1]*vector[1])
    if cnt > 1:
        result = rotate(result,cnt-1)
    return result

def solution(key, lock):
    answer = True
    m,n = len(key[0]),len(lock[0])
    
    blanks = deque()
    for row in range(n):
        for col in range(n):
            if lock[row][col] == 0:
                blanks.append((row+m,col+m))
    blanks_cnt = len(blanks)
    
    lock = [[0]*(2*m+n) for _ in range(m)] + [[0]*m + lock[i] + [0]*m for i in range(n)] + [[0]*(2*m+n) for _ in range(m)]
    key_cor,key_route = [],deque()
    for row in range(m):
        for col in range(m):
            if key[row][col] == 1:
                if key_cor:
                    _row,_col = key_cor[-1]
                    key_route.append((row-_row,col-_col))
                key_cor.append((row,col))
    # pprint(key_cor,depth=2)
    # pprint(key_route,depth=2)
    
    _blanks = [(elem[0],elem[1]) for elem in blanks]
    _lock = [[elem for elem in lock[i]] for i in range(2*m+n)]
    _key_route = [(elem[0],elem[1]) for elem in key_route]
    
    for start in blanks:
        for i in range(4):
            now = start
            lock[now[0]][now[1]] = 1
            cnt = 1
            while key_route:
                dRow,dCol = rotate(key_route.popleft(),i)
                # print(dRow,dCol)
                nRow,nCol = now[0]+dRow,now[1]+dCol
                if lock[nRow][nCol] == 0:
                    now = (nRow,nCol)
                    lock[nRow][nCol] = 1
                    if (nRow,nCol) in blanks:
                        cnt += 1
                else:
                    # print('break')
                    break
            if cnt == blanks_cnt:
                return True

            # pprint(lock,depth=2)
            # print()
            # print(blanks)

            blanks = deque([(elem[0],elem[1]) for elem in _blanks])
            lock = [[elem for elem in _lock[i]] for i in range(2*m+n)]
            key_route = deque([(elem[0],elem[1]) for elem in _key_route])
    
    return False

 교재는 완전탐색을 올바른 접근법으로 제시하고 있다. key, lock 두 입력 모두 최대 20^2의 2차원 리스트로 주어지므로, key를 각각 90도씩 네번 돌려가며 lock 의 모든 칸에 직접 꽂아 확인하더라도, 키를 꽂고 다시 빼는 과정으로 2*20^2, 모든 lock 요소를 순회해보는데 20^2, 키를 90도 회전하는데 20^2, 이를 90도 씩 네번 시행해야 하므로 4, 총합 4*(20^2 + 20^2*(2*20^2))로 대략 20^4, 즉 16만번의 연산만으로 문제가 해결된다. 파이썬 환경에서 1초 연산으로 2천만~1억 정도로 잡는다는 것을 고려하면 완전탐색으로도 충분하다는 결론에 이른다. 해답에 쓰인 2차원 리스트를 시계방향으로 90도 회전하는 함수는 그저 -90도 회전 변환을 간단히 표현한 것이다.

# 시계방향으로 90도 회전변환 후 좌표 보정
def rotate_matrix_cw_90(mat):
    n = len(mat)
    m = len(mat[0])
    result = [[0]*n for _ in range(m)]
    for row in range(n):
        for col in range(m):
            result[col][n-row-1] = mat[row][col]
    return result

def check(new_lock):
    lock_length = len(new_lock) // 3
    for row in range(lock_length, lock_length*2):
        for col in range(lock_length, lock_length*2):
            if new_lock[row][col] != 1:
                return False
    return True

def solution(key, lock):
    n = len(lock)
    m = len(key)
    new_lock = [[0]*(n*3) for _ in range(n*3)]
    for row in range(n):
        for col in range(n):
            new_lock[row+n][col+n] = lock[row][col]
    
    for rotation in range(4):
        key = rotate_matrix_cw_90(key)
        for lRow in range(n*2):
            for lCol in range(n*2):
                for kRow in range(m):
                    for kCol in range(m):
                        new_lock[lRow+kRow][lCol+kCol] += key[kRow][kCol]
                if check(new_lock):
                    return True
                for kRow in range(m):
                    for kCol in range(m):
                        new_lock[lRow+kRow][lCol+kCol] -= key[kRow][kCol]
    return False